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ベクトル解析における発散（はっさん、）は、各点においてベクトル場のの大きさを符号付きスカラーの形で測るベクトル作用素である。より技術的に言えば、発散が表すのは与えられた点の無限小近傍領域から出る流束の体積密度である。例えば、空気を熱したり冷ましたりするものとして考えると、各点において空気の移動速度を与えるベクトル場を例にとることができる。領域内で空気を熱すれば空気は全方向へ膨張していくから、速度場は領域の外側をさしていることになり、従って速度場の発散はこの領域で正の値をとり、この領域は流入（あるいは湧き出し、湧出、source）域であることが示される。空気を冷まして収縮させるなら、発散の値は負となり、この領域は流出（あるいは沈み込み、排出、sink）域と呼ばれる。 == 発散の定義 == 物理的な言葉で言えば、三次元ベクトル場の発散は、各点においてそのベクトル場が流入や流出のような流動的振舞いをする度合を与える。これは、空間の無限小領域において入ってくるよりも出ていく方がどのくらい多いのかの度合いとしての「外向き度」を局所的に測るものである。発散がその点で零でないならば、その位置は湧出点か排出点でなければならない〔DIVERGENCE of a Vector Field 〕。（流れや流出のような言葉を使っているのは、ベクトル場を速度場や運動する流体のようなものと考えるからであることに注意）。 より厳密に、点 ''p'' におけるベクトル場 F の発散は、三次元領域 ''V'' の滑らかな境界と交わる F の最終的な流れ (net flow) を ''V'' の体積で割ったものの、領域 ''V'' を一点 ''p'' に縮めるときの極限として定義される。即ち、式で書けば : となる。ここで |''V'' | は領域 ''V'' の体積、''S''(''V'') は領域 ''V'' の境界、積分は境界面に外向きに直交する単位法ベクトル場 n を伴う面積分である。得られる は点 ''p'' の函数となる。この定義からは、 が F の流束の流出密度（発散密度）と見做せることが陽に見て取れる。 物理的な解釈から見れば、発散が 0 で一定となるベクトル場は非圧縮性 (''incompressible'') あるいは管状 (''solenoidal'') であるといい、この場合任意の閉曲面に対してそれと交わる最終的な流れは存在しない。 直観的には、全ての湧出量の和から全ての排出量の和を引けば領域から流れ出る最終的な流れがわかるはずだが、これを精緻化したものが発散定理である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「発散 (ベクトル解析)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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